यदि सदिशों hat{i} + lambda hat{j} + hat{k},ha | vedclass

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Question

(D) सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्म

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इनमें से कोई नहीं

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(D) सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल का निरपेक्ष मान है:$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \ 0 & 1 & \lambda \ \lambda & 0 & 1 \end{bmatrix} ight|$सारणिक का विस्तार करने पर:$\det = 1(1 - 0) - \lambda(0 - \lambda^2) + 1(0 - \lambda) = 1 + \lambda^3 - \lambda$अतः,$V(\lambda) = |\lambda^3 - \lambda + 1|$.न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,माना $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda + 1$ है। अवकलन करने पर $f'(\lambda) = 3\lambda^2 - 1 = 0$ रखने पर:$\lambda^2 = \frac{1}{3} \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.इन बिंदुओं पर $f(\lambda)$ का मान जाँचने पर:$\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}ight) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.615$.$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}ight) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 1.385$.चूंकि आयतन $V = |f(\lambda)|$ है,हम $|f(\lambda)|$ का न्यूनतम मान देखते हैं। $f(\lambda)$ का मान $\lambda < -1$ के लिए शून्य होता है,जहाँ आयतन $V = 0$ है,जो कि न्यूनतम है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी $\lambda^3 - \lambda + 1 = 0$ का मूल नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

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